기초 미적분 예제

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$16 - \frac{1}{4} x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

단계 1.1.1.2

$16$ 와 $- \frac{x^{2}}{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

단계 1.1.2

$- \frac{x^{2}}{4} + 16$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

단계 1.1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

단계 1.1.2.3.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

단계 1.1.2.3.2.3

$0 (- 1 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$d = 0 \cdot - 4$

단계 1.1.2.3.2.3.2

$0$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$d = 0$

단계 1.1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.4.2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

단계 1.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

단계 1.1.2.4.2.1.3

$- 4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

단계 1.1.2.4.2.1.4

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$e = 16 - 0$

단계 1.1.2.4.2.1.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e = 16 + 0$

단계 1.1.2.4.2.2

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e = 16$

단계 1.1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ 에 대입합니다.

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

단계 1.1.3

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

단계 1.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

단계 1.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 아래로 열린 형태입니다.

아래로 열림

단계 1.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(0, 16)$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 1.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 1.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

단계 1.5.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

단계 1.5.3.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 1.5.3.4

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 1.5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 1.5.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, 15)$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = 0$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = 17$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(0, 16)$

초점: $(0, 15)$

대칭축: $x = 0$

준선: $y = 17$

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(0, 16)$

초점: $(0, 15)$

대칭축: $x = 0$

준선: $y = 17$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

단계 2.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

단계 2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 1 + 16$

단계 2.2.2

$- 1$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 15$

단계 2.2.3

최종 답은 $15$ 입니다.

$15$

단계 2.3

$x = - 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $15$ 입니다.

$y = 15$

단계 2.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

단계 2.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

단계 2.5.3

$16$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

단계 2.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

단계 2.5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

단계 2.5.5.2

$- 1$ 를 $64$ 에 더합니다.

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

단계 2.5.6

최종 답은 $\frac{63}{4}$ 입니다.

$\frac{63}{4}$

단계 2.6

$x = - 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $\frac{63}{4}$ 입니다.

$y = \frac{63}{4}$

단계 2.7

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

단계 2.8.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

단계 2.8.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

단계 2.8.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2) = - 1 + 16$

단계 2.8.2

$- 1$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f (2) = 15$

단계 2.8.3

최종 답은 $15$ 입니다.

$15$

단계 2.9

$x = 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $15$ 입니다.

$y = 15$

단계 2.10

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

단계 2.11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

단계 2.11.3

$16$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

단계 2.11.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

단계 2.11.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.5.1

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

단계 2.11.5.2

$- 1$ 를 $64$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{63}{4}$

단계 2.11.6

최종 답은 $\frac{63}{4}$ 입니다.

$\frac{63}{4}$

단계 2.12

$x = 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $\frac{63}{4}$ 입니다.

$y = \frac{63}{4}$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(0, 16)$

초점: $(0, 15)$

대칭축: $x = 0$

준선: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

단계 4