기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{4} - 16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.2

$- 16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

단계 2.2.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

단계 2.2.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.7

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4, 4$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $720$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.2

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.9.3

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.3.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.9.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 2.9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

단계 2.9.4.3

좌변 $720$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 참

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 참

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 4$ 또는 $x \geq 4$ 또는 $x = 0$

단계 2.11

구간을 조합합니다.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${y | y \geq 0}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

치역: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

단계 6