기초 미적분 예제

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

단계 1

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

단계 3.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

단계 3.2.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\ln (3 y + 6) = x$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (3 y + 6) = x$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x} = 3 y + 6$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$3 y + 6 = e^{x}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 y + 6 = e^{x}$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$3 y = e^{x} - 6$

단계 3.5.3

$3 y = e^{x} - 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$3 y = e^{x} - 6$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

단계 3.5.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

단계 3.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1

$- 6$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ 가 $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

단계 5.2.3

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

단계 5.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.5

$3 x + 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.5.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.5.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

단계 5.2.4.1.5.3

$3 x + 3 \cdot 2$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

단계 5.2.4.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

단계 5.2.4.2.2

$x + 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

단계 5.2.5

$x + 2 - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

단계 5.2.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

단계 5.3.3

$\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

단계 5.3.3.2

$\frac{e^{x}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

단계 5.3.4

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

단계 5.3.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

단계 5.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

단계 5.3.6

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

단계 5.3.7

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

단계 5.3.8

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ 은 $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$