기초 미적분 예제

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

단계 1

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3^{x + 1} - 2$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3^{y + 1} - 2$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3^{y + 1} - 2 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3^{y + 1} - 2 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$3^{y + 1} = x + 2$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

단계 3.4

$y + 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (3^{y + 1})$ 을 전개합니다.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

단계 3.5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$(y + 1) \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

단계 3.5.1.2

$\ln (3)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

단계 3.6

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

단계 3.7

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

단계 3.8

방정식의 양변에서 $\ln (\frac{3}{x + 2})$ 를 뺍니다.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

단계 3.9

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

단계 3.9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.9.2.1

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

단계 3.9.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

단계 3.9.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.9.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ 가 $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

단계 5.2.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

단계 5.2.3.2

$3^{x + 1}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ 값을 계산합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

단계 5.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ 은 $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$