기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$

단계 1

$f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{4 x}{x + 5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{4 y}{y + 5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{4 y}{y + 5} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{y + 5} = x$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y + 5, 1$

단계 3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y + 5, 1$

단계 3.2.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y + 5$

단계 3.3

$\frac{4 y}{y + 5} = x$ 의 각 항에 $y + 5$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{4 y}{y + 5} = x$ 의 각 항에 $y + 5$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$4 y = x (y + 5)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y = x y + x \cdot 5$

단계 3.3.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$4 y = x y + 5 x$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$4 y - x y = 5 x$

단계 3.4.2

$4 y - x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 4 - x y = 5 x$

단계 3.4.2.2

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 4 + y (- x) = 5 x$

단계 3.4.2.3

$y \cdot 4 + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (4 - x) = 5 x$

단계 3.4.3

$y (4 - x) = 5 x$ 의 각 항을 $4 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y (4 - x) = 5 x$ 의 각 항을 $4 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$4 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

단계 3.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 x}{4 - x}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ 가 $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{x + 5})}{4 - (\frac{4 x}{x + 5})}$

단계 5.2.3

$5$ 와 $\frac{4 x}{x + 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{4 - \frac{4 x}{x + 5}}$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5)}{x + 5} - \frac{4 x}{x + 5}}$

단계 5.2.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5) - 4 x}{x + 5}}$

단계 5.2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

단계 5.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

$- 4 x + 4 (x + 5)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x) + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

단계 5.2.4.4.1.2

$4 (- x) + 4 (x + 5)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

단계 5.2.4.4.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{x + 5}}$

단계 5.2.4.4.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 \cdot 5}{x + 5}}$

단계 5.2.4.5

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

단계 5.2.5

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{20 x}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

단계 5.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

단계 5.2.7

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

단계 5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

단계 5.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

단계 5.2.8

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{5 x}{4 - x})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{4 (\frac{5 x}{4 - x})}{(\frac{5 x}{4 - x}) + 5}$

단계 5.3.3

$4$ 와 $\frac{5 x}{4 - x}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + 5}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 - x}{4 - x}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + \frac{5 (4 - x)}{4 - x}}$

단계 5.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{4 - x}}$

단계 5.3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

단계 5.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

$5 x + 5 (4 - x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

단계 5.3.4.4.1.2

$5 (x) + 5 (4 - x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x + 4 - x)}{- x + 4}}$

단계 5.3.4.4.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (0 + 4)}{- x + 4}}$

단계 5.3.4.4.3

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 \cdot 4}{- x + 4}}$

단계 5.3.4.5

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

단계 5.3.5

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{20 x}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

단계 5.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

단계 5.3.7

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 (x)}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x}{4 - x} \cdot (- x + 4)$

단계 5.3.8

$\frac{x}{4 - x}$ 에 $- x + 4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{4 - x}$

단계 5.3.9

$- x + 4$ 및 $4 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

단계 5.3.9.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

단계 5.3.9.3

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ 은 $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$