기초 미적분 예제

$f (x) = 8 x^{3} - 5$

단계 1

$f (x) = 8 x^{3} - 5$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 8 x^{3} - 5$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 8 y^{3} - 5$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$8 y^{3} - 5 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$8 y^{3} - 5 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$8 y^{3} = x + 5$

단계 3.3

$8 y^{3} = x + 5$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$8 y^{3} = x + 5$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$

단계 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{8}}$

단계 3.5.2

$\frac{x + 5}{8}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$x + 5$ 에서 완전제곱인 $1^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{8}}$

단계 3.5.2.2

$8$ 에서 완전제곱인 $2^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

단계 3.5.2.3

분수 $\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)}$

단계 3.5.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 5}$

단계 3.5.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt[3]{x + 5}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ 가 $f (x) = 8 x^{3} - 5$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (8 x^{3} - 5)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 5) + 5}}{2}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

단계 5.2.3.2

$8 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.3

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.4

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})}^{3} - 5$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 5}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3}$ 을 $x + 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + 5}$ 을(를) ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.2.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

단계 5.3.3.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

단계 5.3.3.4

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

단계 5.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 5 - 5$

단계 5.3.4

$x + 5 - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ 은 $f (x) = 8 x^{3} - 5$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$