기초 미적분 예제

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

단계 1

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - \sqrt{x + 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = - \sqrt{y + 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \sqrt{y + 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{y + 1} = x$

단계 3.2

$- \sqrt{y + 1} = x$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \sqrt{y + 1} = x$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

단계 3.2.2.2

$\sqrt{y + 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$\frac{x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

단계 3.2.3.2

$- 1 \cdot x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{y + 1} = - x$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y + 1}$ 을(를) ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

간단히 합니다.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(- x)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

단계 3.4.3.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y + 1 = 1 x^{2}$

단계 3.4.3.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 = x^{2}$

단계 3.5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = x^{2} - 1$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ 가 $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- \sqrt{x + 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

단계 5.2.3.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

단계 5.2.3.3

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

단계 5.2.3.4

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 을 $x + 1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

단계 5.2.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

단계 5.2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

단계 5.2.3.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

단계 5.2.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

단계 5.2.3.4.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

단계 5.2.4

$x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{2} - 1)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

단계 5.3.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

단계 5.3.4

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

단계 5.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (x^{2} - 1) = - x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ 은 $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$