기초 미적분 예제

$f (x) = 3^{x - 1}$

단계 1

$f (x) = 3^{x - 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3^{x - 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3^{y - 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3^{y - 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3^{y - 1} = x$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x)$

단계 3.3

$y - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (3^{y - 1})$ 을 전개합니다.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x)$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$(y - 1) \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x)$

단계 3.4.1.2

$- 1 \ln (3)$ 을 $- \ln (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x)$

단계 3.5

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x) = 0$

단계 3.6

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

방정식의 양변에 $\ln (3)$ 를 더합니다.

$y \ln (3) - \ln (x) = \ln (3)$

단계 3.6.2

방정식의 양변에 $\ln (x)$ 를 더합니다.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$

단계 3.7

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 3.7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 3.7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 3.7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 3.7.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ 가 $f (x) = 3^{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} \cdot 3^{x - 1}$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$x - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (3^{x - 1})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

단계 5.2.3.2

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

단계 5.2.3.2.2

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + x - 1$

단계 5.2.4

$1 + x - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)})$ 값을 계산합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1}$

단계 5.3.3

$(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

단계 5.3.3.2

$0$ 를 $\frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ 에 더합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

단계 5.3.4

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x)}$

단계 5.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ 은 $f (x) = 3^{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$