기초 미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$

단계 1

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

단계 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

단계 2.1.3

$3$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $3$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.3.1

$3$ 을 다항식에 대입합니다.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

단계 2.1.3.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

단계 2.1.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$27 - 5 \cdot 9 + 11 \cdot 3 - 15$

단계 2.1.3.4

$- 5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 - 45 + 11 \cdot 3 - 15$

단계 2.1.3.5

$27$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$- 18 + 11 \cdot 3 - 15$

단계 2.1.3.6

$11$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 18 + 33 - 15$

단계 2.1.3.7

$- 18$ 를 $33$ 에 더합니다.

$15 - 15$

단계 2.1.3.8

$15$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4

$3$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15}{x - 3}$

단계 2.1.5

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ 을 $x - 3$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$15$

단계 2.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$

단계 2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

단계 2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

단계 2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

단계 2.1.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

단계 2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

단계 2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

단계 2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$

단계 2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

단계 2.1.5.12

피제수 $5 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

단계 2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

단계 2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x - 15$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

단계 2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

단계 2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 2 x + 5$

단계 2.1.6

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

단계 2.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.4

$x^{2} - 2 x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x^{2} - 2 x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 5$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3

간단히 합니다.

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단계 2.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.3.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.3

$4$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.4

$- 16$ 을 $- 1 (16)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

단계 2.4.2.3.3

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm 2 i$

단계 2.4.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

단계 2.5

$(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

단계 3