기초 미적분 예제

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 3$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

단계 4.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

단계 4.1.3

$40$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$81 + 360 - 441$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$81$ 를 $360$ 에 더합니다.

$441 - 441$

단계 4.2.2

$441$ 에서 $441$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$3$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

단계 6.3

제수 $(3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(3)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

단계 6.5

제수 $(3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(3)$ 을 곱하여 나온 값 $(9)$ 을 피제수 $(40)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

단계 6.7

제수 $(3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(49)$ 을 곱하여 나온 값 $(147)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

단계 6.9

제수 $(3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(147)$ 을 곱하여 나온 값 $(441)$ 을 피제수 $(- 441)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

단계 8

최대공약수 $x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

단계 9

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

단계 10

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 40 u - 441$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 441$ 이고 합은 $40$ 입니다.

$- 9, 49$

단계 10.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

단계 11

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

단계 12

$u - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$u - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 9 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$u = 9$

단계 13

$u + 49$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u + 49$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 49 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $49$ 를 뺍니다.

$u = - 49$

단계 14

$(u - 9) (u + 49) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 9, - 49$

단계 15

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

단계 16

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = 9$

단계 17

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

단계 17.2

$\pm \sqrt{9}$ 을 간단히 합니다.

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단계 17.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

단계 17.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 3$

단계 17.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3$

단계 17.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3$

단계 17.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 3$

단계 18

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = - 49$

단계 19

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 19.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = - 49$

단계 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

단계 19.3

$\pm \sqrt{- 49}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

$- 49$ 을 $- 1 (49)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

단계 19.3.2

$\sqrt{- 1 (49)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

단계 19.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

단계 19.3.4

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

단계 19.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 7$

단계 19.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$x = \pm 7 i$

단계 19.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 7 i$

단계 19.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 7 i$

단계 19.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 7 i, - 7 i$

단계 20

$x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ 의 해는 $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ 입니다.

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

단계 21