기초 미적분 예제

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.6

$49$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

단계 4.1.7

$- 25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$1 + 49 - 25 - 25$

단계 4.2.2

$1$ 를 $49$ 에 더합니다.

$50 - 25 - 25$

단계 4.2.3

$50$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$25 - 25$

단계 4.2.4

$25$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(49)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(50)$ 을 곱하여 나온 값 $(50)$ 을 피제수 $(- 25)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(25)$ 을 곱하여 나온 값 $(25)$ 을 피제수 $(- 25)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

단계 8

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 9.1

항을 다시 묶습니다.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

단계 9.2

$- x^{3} - 25 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.1

$- x^{3}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

단계 9.2.2

$- 25 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

단계 9.2.3

$- x (x^{2}) - x (25)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

단계 9.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

단계 9.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

단계 9.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ 이고 합이 $b = 49$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.1

$49 u$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

단계 9.5.1.2

$49$ 를 $- 1$ + $50$ 로 다시 씁니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

단계 9.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

단계 9.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

단계 9.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

단계 9.5.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

단계 9.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

단계 9.7

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ 에서 $x^{2} + 25$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.7.1

$- x (x^{2} + 25)$ 에서 $x^{2} + 25$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

단계 9.7.2

$(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ 에서 $x^{2} + 25$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

단계 9.7.3

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ 에서 $x^{2} + 25$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

단계 9.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

단계 9.9

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

단계 9.9.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.9.2.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

단계 9.9.2.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

단계 9.9.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

단계 9.9.2.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

단계 9.9.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.9.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

단계 9.9.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

단계 9.9.4

최대공약수 $2 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

단계 9.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 9.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 11

$x^{2} + 25$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x^{2} + 25$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 25 = 0$

단계 11.2

$x^{2} + 25 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 25$

단계 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

단계 11.2.3

$\pm \sqrt{- 25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$- 25$ 을 $- 1 (25)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

단계 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (25)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

단계 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

단계 11.2.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

단계 11.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 5$

단계 11.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$x = \pm 5 i$

단계 11.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 5 i$

단계 11.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 5 i$

단계 11.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 5 i, - 5 i$

단계 12

$2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 12.2

$2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 12.2.2

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 12.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 12.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 12.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 13

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 14

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

단계 15