기초 미적분 예제

$x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(1)}^{4} + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 1 + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 1 + 14 \cdot 1 + 16 (1) - 32$

단계 4.1.4

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 + 14 + 16 (1) - 32$

단계 4.1.5

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 + 14 + 16 - 32$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 + 14 + 16 - 32$

단계 4.2.2

$2$ 를 $14$ 에 더합니다.

$16 + 16 - 32$

단계 4.2.3

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$32 - 32$

단계 4.2.4

$32$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

	$1$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$	$2$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(14)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$16$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(16)$ 을 곱하여 나온 값 $(16)$ 을 피제수 $(16)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$	$32$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(32)$ 을 곱하여 나온 값 $(32)$ 을 피제수 $(- 32)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 32$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) + x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

$(x - 1) x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

단계 8

최대공약수 $x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 16)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 9.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{3} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

단계 9.2

$x^{3} + 16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

단계 9.2.2

$16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

단계 9.2.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} + 16) + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

단계 9.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} + 16) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} - 32 = 0$

단계 9.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} + 16) + u^{2} + 14 u - 32 = 0$

단계 9.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 14 u - 32$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 32$ 이고 합은 $14$ 입니다.

$- 2, 16$

단계 9.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x (x^{2} + 16) + (u - 2) (u + 16) = 0$

단계 9.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

단계 9.7

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.7.1

$x (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

단계 9.7.2

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2) = 0$

단계 9.7.3

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2)$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 16) (x + x^{2} - 2) = 0$

단계 9.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 16) (u + u^{2} - 2) = 0$

단계 9.9

AC 방법을 이용하여 $u + u^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 9.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x^{2} + 16) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

단계 9.10

인수분해합니다.

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단계 9.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

단계 9.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 16 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 11

$x^{2} + 16$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x^{2} + 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 16 = 0$

단계 11.2

$x^{2} + 16 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 16$

단계 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

단계 11.2.3

$\pm \sqrt{- 16}$ 을 간단히 합니다.

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단계 11.2.3.1

$- 16$ 을 $- 1 (16)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

단계 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (16)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

단계 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

단계 11.2.3.4

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

단계 11.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 4$

단계 11.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \pm 4 i$

단계 11.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 4 i$

단계 11.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 4 i$

단계 11.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4 i, - 4 i$

단계 12

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 13

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 14

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4 i, - 4 i, 1, - 2$

단계 15