기초 미적분 예제

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 7$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 7$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

괄호를 제거합니다.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 7$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2.2

$- 7$ 를 $4$ 승 합니다.

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2.3

$7$ 에 $2401$ 을 곱합니다.

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2.4

$- 7$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2.5

$2$ 에 $- 343$ 을 곱합니다.

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

단계 4.2.6

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

단계 4.2.7

$14$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

단계 4.3

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 16807$ 를 $16807$ 에 더합니다.

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

단계 4.3.2

$0$ 에서 $686$ 을 뺍니다.

$- 686 + 686 - 7 + 7$

단계 4.3.3

$- 686$ 를 $686$ 에 더합니다.

$0 - 7 + 7$

단계 4.3.4

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$- 7 + 7$

단계 4.3.5

$- 7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$0$

$0$

$0$

단계 5

$- 7$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 7$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

단계 6.3

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 7)$ 을 피제수 $(7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

단계 6.5

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(2)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

단계 6.7

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 14)$ 을 피제수 $(14)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

단계 6.9

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

단계 6.11

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 7)$ 을 피제수 $(7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

단계 6.12

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

단계 6.13

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

단계 6.14

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

단계 7

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

단계 8

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

단계 9

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 9.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

단계 9.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 9.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

단계 9.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

단계 10

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

단계 11

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 11.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2

$x^{5} + 2 x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.2.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2.2

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2.4

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2.5

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.2.6

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 11.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.5.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 11.5.3

다항식을 다시 씁니다.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.5.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.7

$7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.7.1

$7 x^{4}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

단계 11.7.2

$14 x^{2}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

단계 11.7.3

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

단계 11.7.4

$7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

단계 11.7.5

$7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

단계 11.8

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

단계 11.9

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

단계 11.10

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 11.10.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

단계 11.10.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 11.10.3

다항식을 다시 씁니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 11.10.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

단계 11.11

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 11.12

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.12.1

$x {(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 11.12.2

$7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

단계 11.12.3

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ 에서 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

단계 12

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

단계 13

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 13.2

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.2.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 13.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 13.2.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 13.2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 13.2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 13.2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 13.2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

단계 14

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 14.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 14.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

$x = - 7$

단계 15

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i, - 7$

단계 16

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$