기초 미적분 예제

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

단계 4.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 - 6 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

단계 4.1.3

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 6 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

단계 4.1.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 6 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1) + 4$

단계 4.1.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 6 + 4 + 15 (- 1) + 4$

단계 4.1.6

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 6 + 4 - 15 + 4$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$7 + 4 - 15 + 4$

단계 4.2.2

$7$ 를 $4$ 에 더합니다.

$11 - 15 + 4$

단계 4.2.3

$11$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 4 + 4$

단계 4.2.4

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4}{x + 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

	$1$

단계 6.3

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(- 6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$	$- 7$

단계 6.5

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 7)$ 을 곱하여 나온 값 $(7)$ 을 피제수 $(4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$	$11$

단계 6.7

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(11)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 11)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

단계 6.9

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 4)$ 을 피제수 $(4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (11) x + 4$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 7.1.3

$4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $4$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

$4$ 을 다항식에 대입합니다.

$4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

단계 7.1.3.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

단계 7.1.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 - 7 \cdot 16 + 11 \cdot 4 + 4$

단계 7.1.3.4

$- 7$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$64 - 112 + 11 \cdot 4 + 4$

단계 7.1.3.5

$64$ 에서 $112$ 을 뺍니다.

$- 48 + 11 \cdot 4 + 4$

단계 7.1.3.6

$11$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 48 + 44 + 4$

단계 7.1.3.7

$- 48$ 를 $44$ 에 더합니다.

$- 4 + 4$

단계 7.1.3.8

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$0$

단계 7.1.4

$4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4}{x - 4}$

단계 7.1.5

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ 을 $x - 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$4$

단계 7.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$

단계 7.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 7.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 7.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

단계 7.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

단계 7.1.5.7

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

단계 7.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

단계 7.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} + 12 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

단계 7.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$

단계 7.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

단계 7.1.5.12

피제수 $- x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

단계 7.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							-	$x$	+	$4$

단계 7.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x + 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$

단계 7.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$
										$0$

단계 7.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 3 x - 1$

단계 7.1.6

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

단계 7.3

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 7.4

$x^{2} - 3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x^{2} - 3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

단계 7.4.2

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.3.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 7.4.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.4.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 7.4.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 7.4.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.5.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 7.4.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 7.4.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 7.5

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x + 1) (x - 4) (x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

단계 9

다항식 $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$ 의 근(해)입니다.

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

소수 형태:

$x = - 1, 4, 3.30277563 \dots, - 0.30277563 \dots$

단계 11