기초 미적분 예제

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \cdot 1 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

단계 4.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 + 11 \cdot 1 - 7 \cdot 1 - 6$

단계 4.1.4

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 11 - 7 \cdot 1 - 6$

단계 4.1.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 11 - 7 - 6$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 를 $11$ 에 더합니다.

$13 - 7 - 6$

단계 4.2.2

$13$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$6 - 6$

단계 4.2.3

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

	$2$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(11)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$	$13$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(13)$ 을 곱하여 나온 값 $(13)$ 을 피제수 $(- 7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$	$6$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(6)$ 을 곱하여 나온 값 $(6)$ 을 피제수 $(- 6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{2} + 13 x + 6$

단계 7

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ 이고 합이 $b = 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 7.1.1

$13 x$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 13 (x) + 6$

단계 7.1.2

$13$ 를 $1$ + $12$ 로 다시 씁니다.

$(x - 1) + 2 x^{2} + (1 + 12) x + 6$

단계 7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6$

단계 7.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) + 2 x^{2} + x + 12 x + 6$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) (2 x^{2} + x) + 12 x + 6$

단계 7.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) + x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)$

단계 7.3

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6)$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

단계 8.1.3

$- 0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.5$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 8.1.3.1

$- 0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.2

$- 0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.3

$2$ 에 $- 0.125$ 을 곱합니다.

$- 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.4

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.5

$11$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$- 0.25 + 2.75 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.6

$- 0.25$ 를 $2.75$ 에 더합니다.

$2.5 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

단계 8.1.3.7

$- 7$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$2.5 + 3.5 - 6$

단계 8.1.3.8

$2.5$ 를 $3.5$ 에 더합니다.

$6 - 6$

단계 8.1.3.9

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 8.1.4

$- 0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{2 x + 1}$

단계 8.1.5

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ 을 $2 x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 8.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$7 x$

$6$

단계 8.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

단계 8.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 8.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 8.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

단계 8.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

단계 8.1.5.7

피제수 $10 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

단계 8.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

단계 8.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $10 x^{2} + 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

단계 8.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

단계 8.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 8.1.5.12

피제수 $- 12 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 8.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

단계 8.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

단계 8.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

단계 8.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 5 x - 6$

단계 8.1.6

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x + 1) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$

단계 8.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$- 1, 6$

단계 8.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x + 6)) = 0$

단계 8.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 10

$2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 10.2

$2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 10.2.2

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 10.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 11

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 12

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 13

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 6$

단계 14