기초 미적분 예제

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21 = 0$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

단계 1.3

$1.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1.5$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1

$1.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {1.5}^{3} - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.2

$1.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 3.375 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.3

$2$ 에 $3.375$ 을 곱합니다.

$6.75 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.4

$1.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$6.75 - 5 \cdot 2.25 - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.5

$- 5$ 에 $2.25$ 을 곱합니다.

$6.75 - 11.25 - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.6

$6.75$ 에서 $11.25$ 을 뺍니다.

$- 4.5 - 11 \cdot 1.5 + 21$

단계 1.3.7

$- 11$ 에 $1.5$ 을 곱합니다.

$- 4.5 - 16.5 + 21$

단계 1.3.8

$- 4.5$ 에서 $16.5$ 을 뺍니다.

$- 21 + 21$

단계 1.3.9

$- 21$ 를 $21$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$1.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21}{2 x - 3}$

단계 1.5

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ 을 $2 x - 3$ 로 나눕니다.

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단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$21$

단계 1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

단계 1.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$

단계 1.5.12

피제수 $- 14 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							-	$14 x$	+	$21$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 14 x + 21$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							+	$14 x$	-	$21$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							+	$14 x$	-	$21$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - x - 7$

단계 1.6

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 3) (x^{2} - x - 7) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - x - 7 = 0$

단계 3

$2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 3 = 0$

단계 3.2

$2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$2 x = 3$

단계 3.2.2

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 4

$x^{2} - x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x^{2} - x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - x - 7 = 0$

단계 4.2

$x^{2} - x - 7 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = - 7$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.1.3

$1$ 를 $28$ 에 더합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$

단계 4.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

단계 5

$(2 x - 3) (x^{2} - x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

소수 형태:

$x = 1.5, 3.19258240 \dots, - 2.19258240 \dots$

대분수 형식:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

단계 7