기초 미적분 예제

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- 54 x + 9 x^{2}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$- 54 x$ 와 $9 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$9 x^{2} - 54 x$

단계 1.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

단계 1.1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

단계 1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$- 54$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

$- 54$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.1.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

단계 1.1.4.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.1.4.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 27}{9}$

단계 1.1.4.2.2

$- 27$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.2.1

$- 27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

단계 1.1.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

단계 1.1.4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

단계 1.1.4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 3}{1}$

단계 1.1.4.2.2.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 3$

단계 1.1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.1

$- 54$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

단계 1.1.5.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

단계 1.1.5.2.1.3

$2916$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 81$

단계 1.1.5.2.1.4

$- 1$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 81$

단계 1.1.5.2.2

$0$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$e = - 81$

단계 1.1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ 에 대입합니다.

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

단계 1.2

$- 54 x + 9 x^{2}$ 를 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ 로 바꿔 방정식 $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ 에 대입합니다.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

단계 1.3

양변에 $81$ 을 더하여 $- 81$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

단계 1.4

$63$ 를 $81$ 에 더합니다.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

단계 1.5

각 항을 $144$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

단계 1.6

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

단계 4

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

단계 5

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

단계 5.2

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

단계 5.2.3

$\frac{3}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

단계 5.2.4

$\frac{3}{4} \cdot - 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\frac{3}{4}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

단계 5.2.4.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

단계 5.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

단계 6

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

단계 6.2

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

단계 6.2.3

$x$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

단계 6.2.4

$- \frac{3}{4} \cdot - 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

단계 6.2.4.2

$3$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

단계 6.2.4.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

단계 6.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 7

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 8

점근선은 $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ 입니다.

점근선: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 9