기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 1

식 $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ 이므로 $x = - \frac{1}{2}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $2$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $2$ 이므로 $x = 2$ 는 수직점근선입니다.

$x = 2$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.1.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.1.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.1.1.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = - 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1.1

$- 3 x$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

단계 8.1.2.1.2

$- 3$ 를 $1$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

단계 8.1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

단계 8.1.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

단계 8.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

단계 8.1.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

단계 8.1.2.3

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2

$x (x^{2} + 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2.2

$x$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.2.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

단계 8.3

$(2 x + 1) (x - 2)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

단계 8.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

단계 8.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.4

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.9

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.10

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

단계 8.3.11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

단계 8.3.12

$- 4 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

단계 8.5

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

단계 8.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

단계 8.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

단계 8.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

단계 8.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

단계 8.10

피제수 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

단계 8.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

단계 8.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

단계 8.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

단계 8.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

단계 8.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{1}{2}, 2$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

단계 10