기초 미적분 예제

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

단계 1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $18 x$ 를 뺍니다.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

단계 1.2

방정식의 양변에 $5 x^{3}$ 를 더합니다.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

단계 1.3

$- 3 x^{3}$ 를 $5 x^{3}$ 에 더합니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

단계 2

방정식의 양변에서 $81$ 를 뺍니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.3

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.5.2

인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.5.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.6

$2 x^{3} - 18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

단계 3.6.2

$- 18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

단계 3.6.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

단계 3.7

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

단계 3.8

인수분해합니다.

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단계 3.8.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 3.8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 3.9

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.9.1

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 3.9.2

$2 x (x + 3) (x - 3)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

단계 3.9.3

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

단계 3.10

항을 다시 정렬합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

단계 5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7

$x^{2} + 2 x + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1

$x^{2} + 2 x + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

단계 7.2

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 9$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.3

$4$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.4

$- 32$ 을 $- 1 (32)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (32)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.7

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.2.3.1.7.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.7.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

단계 7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

단계 7.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

단계 8

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$