기초 미적분 예제

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{x^{2} - 3 x - 10}$

단계 1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 10$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 10$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 5, 2$

단계 1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x + 2, x - 5, (x - 5) (x + 2)$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$x + 2$ 의 인수는 $x + 2$ 자신입니다.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$x - 5$ 의 인수는 $x - 5$ 자신입니다.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x + 2$ 의 인수는 $x + 2$ 자신입니다.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$x + 2, x - 5, x - 5, x + 2$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x + 2) (x - 5)$

단계 3

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ 의 각 항에 $(x + 2) (x - 5)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 3.1

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ 의 각 항에 $(x + 2) (x - 5)$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x (x - 5) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.5

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.5.1

$(x + 2) (x - 5)$ 에서 $x - 5$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{2} - 10 x + 5 (x + 2) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.1.7

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.2.2

$- 10 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$(x + 2) (x - 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

$(x - 5) (x + 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) (1)} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) \cdot 1} ((x + 2) (x - 5))$

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = 8$

단계 4

식을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} - 5 x + 10 - 8 = 0$

단계 4.2

$10$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

단계 4.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ 이고 합이 $b = - 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.3.1.1

$- 5 x$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

단계 4.3.1.2

$- 5$ 를 $- 1$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

단계 4.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

단계 4.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2 = 0$

단계 4.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

단계 4.3.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x - 2) = 0$

단계 4.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4.5

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.5.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 4.5.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 4.5.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 4.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.7

$(2 x - 1) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, 2$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{1}{2}, 2$

소수 형태:

$x = 0.5, 2$