기초 미적분 예제

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

단계 1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

단계 1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

단계 2

방정식의 등호가 성립하려면 방정식의 두 변에 있는 로그의 진수가 동일해야 합니다.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(x + 1) (x - 1), 1$

단계 3.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$(x + 1) (x - 1)$

단계 3.2

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ 의 각 항에 $(x + 1) (x - 1)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ 의 각 항에 $(x + 1) (x - 1)$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$(x + 1) (x - 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

단계 3.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

단계 3.2.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

단계 3.2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

단계 3.2.3.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

단계 3.2.3.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

단계 3.2.3.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

단계 3.2.3.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

단계 3.2.3.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

단계 3.2.3.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

단계 3.2.3.2.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

단계 3.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

단계 3.2.3.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x = 3 x^{2} - 3$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

단계 3.3.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$8 x - 3 x^{2} + 3$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$8 x$ 와 $- 3 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

단계 3.3.3.1.2

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

단계 3.3.3.1.3

$8 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

단계 3.3.3.1.4

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

단계 3.3.3.1.5

$- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

단계 3.3.3.1.6

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ 이고 합이 $b = - 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1.1

$- 8 x$ 에서 $- 8$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2.1.1.2

$- 8$ 를 $1$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2.1.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

단계 3.3.3.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

단계 3.3.3.2.1.3

최대공약수 $3 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

단계 3.3.3.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

단계 3.3.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 3.3.5

$3 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$3 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 1 = 0$

단계 3.3.5.2

$3 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x = - 1$

단계 3.3.5.2.2

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.1

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{3}$

단계 3.3.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 3.3.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.3.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3.3.7

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

단계 4

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 3$