기초 미적분 예제

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

단계 1

로그의 정의를 이용하여 $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$x^{3} = \frac{1}{27}$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{27}$ 를 뺍니다.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{27}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

단계 2.2.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = \frac{1}{3}$ 입니다.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

단계 2.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

단계 2.2.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

단계 2.2.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

단계 2.4

$x - \frac{1}{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - \frac{1}{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - \frac{1}{3} = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{3}$ 를 더합니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 2.5

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

식 전체에 최소공분모 $9$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

단계 2.5.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.2.1.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

단계 2.5.2.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

단계 2.5.2.1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

단계 2.5.2.1.2.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

단계 2.5.2.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

단계 2.5.2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.5.2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 9$ , $b = 3$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.2.2

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.3

$9$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.4

$- 27$ 을 $- 1 (27)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.7

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.7.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

단계 2.5.2.4.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

단계 2.5.2.4.3

$\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

단계 2.5.2.5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

단계 2.6

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$