기초 미적분 예제

$\frac{3}{x - 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$

단계 1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x - 4, 1, x + 4$

단계 1.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 1.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 1.5

$x - 4$ 의 인수는 $x - 4$ 자신입니다.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 1.6

$x + 4$ 의 인수는 $x + 4$ 자신입니다.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 1.7

$x - 4, x + 4$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x - 4) (x + 4)$

단계 2

$\frac{3}{x - 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$ 의 각 항에 $(x - 4) (x + 4)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 2.1

$\frac{3}{x - 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$ 의 각 항에 $(x - 4) (x + 4)$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = 1 ((x - 4) (x + 4)) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = 1 ((x - 4) (x + 4)) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (x + 4) = 1 ((x - 4) (x + 4)) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 3 \cdot 4 = 1 ((x - 4) (x + 4)) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 x + 12 = 1 ((x - 4) (x + 4)) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$(x - 4) (x + 4)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x + 12 = (x - 4) (x + 4) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x + 4)$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 12 = x (x + 4) - 4 (x + 4) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 12 = x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (x + 4) + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 12 = x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.3

$x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.3.1.3.1

인수가 항 $x \cdot 4$ 과(와) $- 4 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$3 x + 12 = x \cdot x + 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.3.2

$4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$3 x + 12 = x \cdot x + 0 - 4 \cdot 4 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.3.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x + 12 = x \cdot x - 4 \cdot 4 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.4.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 4 \cdot 4 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.4.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + \frac{5}{x + 4} ((x - 4) (x + 4))$

단계 2.3.1.5

$x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.5.1

$(x - 4) (x + 4)$ 에서 $x + 4$ 를 인수분해합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + \frac{5}{x + 4} ((x + 4) (x - 4))$

단계 2.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + \frac{5}{x + 4} ((x + 4) (x - 4))$

단계 2.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + 5 (x - 4)$

단계 2.3.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + 5 x + 5 \cdot - 4$

단계 2.3.1.7

$5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$3 x + 12 = x^{2} - 16 + 5 x - 20$

단계 2.3.2

$- 16$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$3 x + 12 = x^{2} + 5 x - 36$

단계 3

식을 풉니다.

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단계 3.1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$x^{2} + 5 x - 36 = 3 x + 12$

단계 3.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $3 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 5 x - 36 - 3 x = 12$

단계 3.2.2

$5 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 2 x - 36 = 12$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 2 x - 36 - 12 = 0$

단계 3.4

$- 36$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 2 x - 48 = 0$

단계 3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 48$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 48$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 6, 8$

단계 3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 6) (x + 8) = 0$

단계 3.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0$

단계 3.7

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.7.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 3.7.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 3.8

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.8.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 3.8.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 3.9

$(x - 6) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 6, - 8$