기초 미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

단계 1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

단계 1.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

단계 2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

단계 3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

단계 3.1.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$x^{6}$ 을 ${(x^{2})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

단계 3.2.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

단계 3.2.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.2.4

간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.2.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

단계 3.2.4.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

단계 3.2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

단계 3.2.5.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

단계 3.2.5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

단계 3.3

$0$ 을 $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ 로 나눕니다.

$0$