기초 미적분 예제

$\sum_{i = 6}^{12} - 5 i + 17$

단계 1

$i$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{k = 6}^{12} - 5 i + 17 = \sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 - \sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$

단계 2

$\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{12} - 5 i + 17 = - 5 \sum_{k = 1}^{12} i + \sum_{k = 1}^{12} 17$

단계 2.2

$5 \sum_{k = 1}^{12} i$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 2.2.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 5) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$12$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 5 \frac{12 \cdot 13}{2}$

단계 2.2.3.2

$12$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{156}{2})$

단계 2.2.3.3

$156$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 5 \cdot 78$

단계 2.2.3.4

$- 5$ 에 $78$ 을 곱합니다.

$- 390$

단계 2.3

$\sum_{k = 1}^{12} 17$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 2.3.2

공식에 값을 대입합니다.

$(17) (12)$

단계 2.3.3

$17$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$204$

단계 2.4

합계 결과를 더합니다.

$- 390 + 204$

단계 2.5

$- 390$ 를 $204$ 에 더합니다.

$- 186$

단계 3

$\sum_{k = 1}^{5} - 5 i + 17$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

각 $i$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$- 5 \cdot 1 + 17 - 5 \cdot 2 + 17 - 5 \cdot 3 + 17 + \dots - 5 \cdot 5 + 17$

단계 3.2

확장식을 간단히 합니다.

$10$

단계 4

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$- 186 - 10$

단계 5

$- 186$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$- 196$