기초 미적분 예제

$x^{2} - 2 x - 8 y + 17 = 0$

단계 1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 좌변에 $y$ 만 남도록 식을 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- 2 x - 8 y + 17 = - x^{2}$

단계 1.1.1.2

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$- 8 y + 17 = - x^{2} + 2 x$

단계 1.1.1.3

방정식의 양변에서 $17$ 를 뺍니다.

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$

단계 1.1.2

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.2

$2$ 및 $- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.2.2.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{- 4} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{- 17}{- 8}$

단계 1.1.2.3.1.4

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{17}{8}$

단계 1.2

$\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{17}{8}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = \frac{1}{8}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{8}$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.3.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

단계 1.2.3.2.3

$2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

단계 1.2.3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.3.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

단계 1.2.3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

단계 1.2.3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

단계 1.2.3.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = - \frac{1}{4} (1 \cdot 4)$

단계 1.2.3.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.5.1

$- \frac{1}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$d = \frac{- 1}{4} (1 \cdot 4)$

단계 1.2.3.2.5.2

$1 \cdot 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{- 1}{4} (4 \cdot 1)$

단계 1.2.3.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1}{4} (4 \cdot 1)$

단계 1.2.3.2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$d = - 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.1.3

$\frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.1.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 (\frac{1}{16})}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{1}{16}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4}{8}}$

단계 1.2.4.2.1.3

$4$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.3.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

단계 1.2.4.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.3.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

단계 1.2.4.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

단계 1.2.4.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}$

단계 1.2.4.2.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{16} \cdot 2)$

단계 1.2.4.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.5.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{2 (8)} \cdot 2)$

단계 1.2.4.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

단계 1.2.4.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$e = \frac{17}{8} - \frac{1}{8}$

단계 1.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{17 - 1}{8}$

단계 1.2.4.2.3

$17$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = \frac{16}{8}$

단계 1.2.4.2.4

$16$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$e = 2$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $\frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 2$ 에 대입합니다.

$\frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 2$

단계 1.3

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(x - 1)}^{2} + 2$

단계 2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = \frac{1}{8}$

$h = 1$

$k = 2$

단계 3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(1, 2)$

단계 5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

단계 5.3.2

$4$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

단계 5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

단계 5.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 \cdot 2$

단계 5.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(1, 4)$

단계 7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = 1$

단계 8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = 0$

단계 9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(1, 2)$

초점: $(1, 4)$

대칭축: $x = 1$

준선: $y = 0$

단계 10