기초 미적분 예제

$f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 7$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 3$

$h = - 2$

$k = - 7$

단계 1.2

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 1.3

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(- 2, - 7)$

단계 1.4

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.4.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

단계 1.4.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12}$

단계 1.5

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.5.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, - \frac{83}{12})$

단계 1.6

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = - 2$

단계 1.7

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.7.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - \frac{85}{12}$

단계 1.8

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 2, - 7)$

초점: $(- 2, - \frac{83}{12})$

대칭축: $x = - 2$

준선: $y = - \frac{85}{12}$

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 2, - 7)$

초점: $(- 2, - \frac{83}{12})$

대칭축: $x = - 2$

준선: $y = - \frac{85}{12}$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 5$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 12 (- 3) + 5$

단계 2.2.1.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = 27 + 12 (- 3) + 5$

단계 2.2.1.3

$12$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = 27 - 36 + 5$

단계 2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$27$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = - 9 + 5$

단계 2.2.2.2

$- 9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (- 3) = - 4$

단계 2.2.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 2.3

$x = - 3$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 4$ 입니다.

$y = - 4$

단계 2.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 5$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 5$

단계 2.5.1.2

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 5$

단계 2.5.1.3

$12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = 48 - 48 + 5$

단계 2.5.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$48$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = 0 + 5$

단계 2.5.2.2

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (- 4) = 5$

단계 2.5.3

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 2.6

$x = - 4$ 일 때 $y$ 의 값은 $5$ 입니다.

$y = 5$

단계 2.7

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 5$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 3 \cdot 1 + 12 (- 1) + 5$

단계 2.8.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 3 + 12 (- 1) + 5$

단계 2.8.1.3

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 3 - 12 + 5$

단계 2.8.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$3$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 9 + 5$

단계 2.8.2.2

$- 9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (- 1) = - 4$

단계 2.8.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 2.9

$x = - 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 4$ 입니다.

$y = - 4$

단계 2.10

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 5$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 5$

단계 2.11.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 12 (0) + 5$

단계 2.11.1.3

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 5$

단계 2.11.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 5$

단계 2.11.2.2

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (0) = 5$

단계 2.11.3

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 2.12

$x = 0$ 일 때 $y$ 의 값은 $5$ 입니다.

$y = 5$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 2, - 7)$

초점: $(- 2, - \frac{83}{12})$

대칭축: $x = - 2$

준선: $y = - \frac{85}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

단계 4