기초 미적분 예제

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

단계 1

$a \sin (b x - c) + d$ 형태를 이용해 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 이동을 구하는 데 사용되는 변수들을 찾습니다.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

단계 2

진폭 $| a |$ 을 구합니다.

진폭: $4$

단계 3

공식 $\frac{2 π}{| b |}$ 을 이용하여 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.1.2

주기 공식에서 $b$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

단계 3.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 3.2

$1$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.2.2

주기 공식에서 $b$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

단계 3.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 3.3

삼각함수의 덧셈/뺄셈 주기는 개별 주기의 최댓값입니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 4

$\frac{c}{b}$ 공식을 이용하여 위상차를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

함수의 위상 이동은 $\frac{c}{b}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

위상 변이: $\frac{c}{b}$

단계 4.2

$c$ 와 $b$ 의 값을 위상 변이 방정식에 대입합니다.

위상 변이: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

단계 4.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

위상 변이: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 4.4

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

위상 변이: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

단계 4.4.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

위상 변이: $\frac{π}{9}$

단계 5

삼각함수의 성질을 나열합니다.

진폭: $4$

주기: $\frac{2 π}{3}$

위상 변이: $\frac{π}{9}$ (오른쪽으로 $\frac{π}{9}$ )

수직 이동: $1$

단계 6

여러 개의 점을 선택하여 그래프를 그립니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x = \frac{π}{9}$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{9}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.1.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.1.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.1.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

단계 6.1.2.1.3

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

단계 6.1.2.1.4

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

단계 6.1.2.1.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

단계 6.1.2.1.6

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

단계 6.1.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{9}) = 1$

단계 6.1.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.2

$x = \frac{5 π}{18}$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{18}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

$18$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.2.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.2.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.2.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

단계 6.2.2.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.3.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

단계 6.2.2.1.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

단계 6.2.2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

단계 6.2.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

단계 6.2.2.1.5.2

$5 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

단계 6.2.2.1.6

$3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.6.1

$3 π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

단계 6.2.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.6.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

단계 6.2.2.1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

단계 6.2.2.1.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

단계 6.2.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

단계 6.2.2.1.8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

단계 6.2.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

단계 6.2.2.3

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 6.3

$x = \frac{4 π}{9}$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{4 π}{9}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.3

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

단계 6.3.2.1.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

단계 6.3.2.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

단계 6.3.2.1.6

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

단계 6.3.2.1.7

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

단계 6.3.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

단계 6.3.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.4

$x = \frac{11 π}{18}$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{11 π}{18}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1.1

$18$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.4.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.4.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

단계 6.4.2.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.3.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

단계 6.4.2.1.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

단계 6.4.2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

단계 6.4.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

단계 6.4.2.1.5.2

$11 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

단계 6.4.2.1.6

$9$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.6.1

$9 π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

단계 6.4.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.6.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

단계 6.4.2.1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

단계 6.4.2.1.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

단계 6.4.2.1.7

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

단계 6.4.2.1.8

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

단계 6.4.2.1.9

$4 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.9.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

단계 6.4.2.1.9.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

단계 6.4.2.2

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

단계 6.4.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 6.5

$x = \frac{7 π}{9}$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{7 π}{9}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.1.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.3

$7 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.4

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.4.1

$6 π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

단계 6.5.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

단계 6.5.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

단계 6.5.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

단계 6.5.2.1.4.2.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

단계 6.5.2.1.5

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

단계 6.5.2.1.6

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

단계 6.5.2.1.7

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

단계 6.5.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

단계 6.5.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.6

표에 점을 적습니다.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

단계 7

삼각함수의 그래프는 진폭, 주기, 위상 변화, 수직 이동, 점들을 이용하여 그릴 수 있습니다.

진폭: $4$

주기: $\frac{2 π}{3}$

위상 변이: $\frac{π}{9}$ (오른쪽으로 $\frac{π}{9}$ )

수직 이동: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

단계 8