기초 미적분 예제

${(2 x - 3 y)}^{3}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(2 x - 3 y)}^{3}$ 의 경우 $n = 3$ 이므로 전개식의 계수는 선 $4$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 3 - 3 - 1$ 입니다.

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

단계 3

$a$ $2 x$ 및 $b$ $- 3 y$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(2 x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.4

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.7

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.9

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.10

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.15

$12$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.17

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.18

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.19

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.20

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.21

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.22

${(2 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.23

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.24

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.25

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.26

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.27

${(- 3 y)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3 y)}^{3}$

단계 4.28

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3)}^{3} y^{3}$

단계 4.29

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$