기초 미적분 예제

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y + 64 = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $64$ 를 뺍니다.

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y = - 64$

단계 2

방정식의 양변을 $9$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

단계 3

$x^{2} + 6 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

단계 3.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 3.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

단계 3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{3}{1}$

단계 3.3.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 3$

단계 3.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

단계 3.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{36}{4}$

단계 3.4.2.1.3

$36$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 9$

단계 3.4.2.1.4

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 9$

단계 3.4.2.2

$0$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$e = - 9$

단계 3.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x + 3)}^{2} - 9$ 에 대입합니다.

${(x + 3)}^{2} - 9$

단계 4

$x^{2} + 6 x$ 를 ${(x + 3)}^{2} - 9$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ 에 대입합니다.

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

단계 5

양변에 $9$ 을 더하여 $- 9$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9} + 9$

단계 6

$y^{2} - \frac{2 y}{3}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

단계 6.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 6.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$- 1$ 및 $1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

단계 6.3.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$- \frac{2}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.2.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{3}$

단계 6.3.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{3}$

단계 6.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1.1

$- \frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.3

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.1.6

$\frac{4}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

단계 6.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

단계 6.4.2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

단계 6.4.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

단계 6.4.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

단계 6.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{9}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{9}$

단계 6.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 에 대입합니다.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

단계 7

$y^{2} - \frac{2 y}{3}$ 를 ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ 에 대입합니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = - \frac{64}{9} + 9$

단계 8

양변에 $\frac{1}{9}$ 을 더하여 $- \frac{1}{9}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$

단계 9

$- \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 64 + 1}{9}$

단계 9.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 64$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 63}{9}$

단계 9.2.2

$- 63$ 을 $9$ 로 나눕니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 - 7$

단계 9.2.3

$9$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 2$

단계 10

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 11

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = \sqrt{2}$

$h = - 3$

$k = \frac{1}{3}$

단계 12

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(- 3, \frac{1}{3})$

단계 13

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 3, \frac{1}{3})$

반지름: $\sqrt{2}$

단계 14