기초 미적분 예제

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

단계 2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

단계 2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (9 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

단계 2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3.1.4

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

단계 2.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

단계 2.1.3.2

$9 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

단계 2.2

로그의 정의를 이용하여 $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

단계 2.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

단계 2.3.3

$- 18$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

단계 2.3.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$11 x - x^{2} - 28$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$11 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

단계 2.3.4.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

단계 2.3.4.1.3

$11 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

단계 2.3.4.1.4

$- 28$ 을 $- 1 (28)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

단계 2.3.4.1.5

$- (x^{2}) - (- 11 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

단계 2.3.4.1.6

$- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

단계 2.3.4.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 11 x + 28$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $28$ 이고 합은 $- 11$ 입니다.

$- 7, - 4$

단계 2.3.4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

단계 2.3.4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

단계 2.3.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.3.6

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 2.3.6.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 2.3.7

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.3.7.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.3.8

$- (x - 7) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, 4$

단계 3

$\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\log (11 x - x^{2} - 18)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$11 x - x^{2} - 18$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$11 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

단계 3.2.2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

단계 3.2.2.1.3

$11 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

단계 3.2.2.1.4

$- 18$ 을 $- 1 (18)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

단계 3.2.2.1.5

$- (x^{2}) - (- 11 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

단계 3.2.2.1.6

$- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

단계 3.2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 11 x + 18$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $18$ 이고 합은 $- 11$ 입니다.

$- 9, - 2$

단계 3.2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

단계 3.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

단계 3.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 3.2.4

$x - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 3.2.4.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 3.2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 3.2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 3.2.6

$- (x - 9) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 9, 2$

단계 3.2.7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

단계 3.2.8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 3.2.8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

단계 3.2.8.1.3

좌변 $- 18$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.2.8.2

$2 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1

$2 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 3.2.8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

단계 3.2.8.2.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.2.8.3

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.3.1

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 12$

단계 3.2.8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $12$ 로 치환합니다.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

단계 3.2.8.3.3

좌변 $- 30$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.2.8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

단계 3.2.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$2 < x < 9$

단계 3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(2, 9)$

단계 4

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

단계 5

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 5.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

단계 5.1.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.1.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.2

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 5.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

단계 5.2.3

좌변 $0.77815125$ 이 우변 $1$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 5.3

$4 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 5.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

단계 5.3.3

좌변 $1.07918124$ 이 우변 $1$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.4

$7 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$7 < x < 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 5.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

단계 5.4.3

좌변 $0.77815125$ 이 우변 $1$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 5.5

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x > 9$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 12$

단계 5.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $12$ 로 치환합니다.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

단계 5.5.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.5.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$4 < x < 7$ 거짓

$7 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$4 < x < 7$ 거짓

$7 < x < 9$ 참

$x > 9$ 거짓

단계 6

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$2 < x < 4$ 또는 $7 < x < 9$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

구간 표기:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

단계 8