기초 미적분 예제

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.4

$- 17$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.6

$35$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

단계 4.1.7

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 를 $17$ 에 더합니다.

$19 + 35 - 9 - 45$

단계 4.2.2

$19$ 를 $35$ 에 더합니다.

$54 - 9 - 45$

단계 4.2.3

$54$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$45 - 45$

단계 4.2.4

$45$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$- 1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

단계 6.3

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 2)$ 을 피제수 $(- 17)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

단계 6.5

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 19)$ 을 곱하여 나온 값 $(19)$ 을 피제수 $(35)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

단계 6.7

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(54)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 54)$ 을 피제수 $(9)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

단계 6.9

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 45)$ 을 곱하여 나온 값 $(45)$ 을 피제수 $(- 45)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

단계 7.1.1.3

$3$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $3$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$3$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.3

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.5

$- 19$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.6

$54$ 에서 $171$ 을 뺍니다.

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

단계 7.1.1.3.7

$54$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 117 + 162 - 45$

단계 7.1.1.3.8

$- 117$ 를 $162$ 에 더합니다.

$45 - 45$

단계 7.1.1.3.9

$45$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$0$

단계 7.1.1.4

$3$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

단계 7.1.1.5

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ 을 $x - 3$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

단계 7.1.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

단계 7.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

단계 7.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - 6 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

단계 7.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

단계 7.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

단계 7.1.1.5.7

피제수 $- 13 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

단계 7.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

단계 7.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 13 x^{2} + 39 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

단계 7.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

단계 7.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

단계 7.1.1.5.12

피제수 $15 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

단계 7.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

단계 7.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $15 x - 45$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

단계 7.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

단계 7.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

단계 7.1.1.6

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

단계 7.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ 이고 합이 $b = - 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1.1

$- 13 x$ 에서 $- 13$ 를 인수분해합니다.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

단계 7.1.2.1.1.2

$- 13$ 를 $- 3$ + $- 10$ 로 다시 씁니다.

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

단계 7.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

단계 7.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

단계 7.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

단계 7.1.2.1.3

최대공약수 $2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

단계 7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

단계 7.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7.4

$2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 3 = 0$

단계 7.4.2

$2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$2 x = 3$

단계 7.4.2.2

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.1

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 7.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 7.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 7.5

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 7.5.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 7.6

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

단계 9

다항식 $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ 의 근(해)입니다.

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

단계 10