기초 미적분 예제

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{2}{x}$ 를 뺍니다.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

단계 2

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

단계 2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 3}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

단계 2.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.6.1

$\frac{x + 3}{x + 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

단계 2.6.2

$\frac{2}{x}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.6.3

$(x + 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8.5

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 2.8.6

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.8.6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 2.8.6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

단계 9

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x (x + 1) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

단계 9.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 9.2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9.2.4

$x (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

단계 11.1.3

좌변 $0.\overline{3}$ 이 우변 $- 0.5$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.2

$- 2 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 2 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1.5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1.5$ 로 치환합니다.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

단계 11.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $- 1.\overline{3}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.3

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.5$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.5$ 로 치환합니다.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

단계 11.3.3

좌변 $5$ 이 우변 $- 4$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.4

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.5$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.5$ 로 치환합니다.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

단계 11.4.3

좌변 $2.\overline{3}$ 이 우변 $4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.5

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.5.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

단계 11.5.3

좌변 $1.4$ 이 우변 $0.5$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 2 \leq x < - 1$ 또는 $0 < x \leq 1$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

단계 14