기초 미적분 예제

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

단계 2.1.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

단계 2.1.3

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

단계 2.1.4

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

단계 2.1.5

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

단계 2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 3, 1$

단계 2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

단계 2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

$x (x - 3) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3, - 1$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 9.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 < 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 84$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.2

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.2.1

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.5$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.5$ 로 치환합니다.

${(- 0.5)}^{3} - 2 {(- 0.5)}^{2} - 3 \cdot - 0.5 < 0$

단계 9.2.3

좌변 $0.875$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.3

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.3.1

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 < 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 6$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 9.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 < 0$

단계 9.4.3

좌변 $126$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1$ 또는 $0 < x < 3$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

단계 12