기초 미적분 예제

$p (x) = 12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$

단계 1

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

유리근 정리르 이용하여 $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

단계 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 5, \pm 0.41\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 1.25$

단계 2.1.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$12 {(- 1)}^{3} + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$12 \cdot - 1 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.3

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 + 16 \cdot 1 + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.5

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 + 16 + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.6

$- 12$ 를 $16$ 에 더합니다.

$4 + 1 - 5$

단계 2.1.1.3.7

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 - 5$

단계 2.1.1.3.8

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5}{x + 1}$

단계 2.1.1.5

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$5$

단계 2.1.1.5.2

피제수 $12 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$12 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$

단계 2.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$12 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

단계 2.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $12 x^{3} + 12 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

단계 2.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

단계 2.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

단계 2.1.1.5.7

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

단계 2.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

단계 2.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} + 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

단계 2.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$

단계 2.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

단계 2.1.1.5.12

피제수 $- 5 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

단계 2.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

단계 2.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 5 x - 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

단계 2.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$
										$0$

단계 2.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$12 x^{2} + 4 x - 5$

단계 2.1.1.6

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 x - 5) = 0$

단계 2.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.2.1.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 (x) - 5) = 0$

단계 2.1.2.1.1.2

$4$ 를 $- 6$ + $10$ 로 다시 씁니다.

$(x + 1) (12 x^{2} + (- 6 + 10) x - 5) = 0$

단계 2.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (12 x^{2} - 6 x + 10 x - 5) = 0$

단계 2.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 1) ((12 x^{2} - 6 x) + 10 x - 5) = 0$

단계 2.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 1) (6 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

단계 2.1.2.1.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 1) ((2 x - 1) (6 x + 5)) = 0$

단계 2.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$6 x + 5 = 0$

단계 2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.4

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.4.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.5

$6 x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$6 x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$6 x + 5 = 0$

단계 2.5.2

$6 x + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$6 x = - 5$

단계 2.5.2.2

$6 x = - 5$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$6 x = - 5$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{6}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{6}$

단계 2.6

$(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - \frac{5}{6}$

단계 3