기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{9}{x^{2}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{9}{y^{2}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{9}{y^{2}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{y^{2}} = x$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y^{2}, 1$

단계 3.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y^{2}$

단계 3.3

$\frac{9}{y^{2}} = x$ 의 각 항에 $y^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{9}{y^{2}} = x$ 의 각 항에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$9 = x y^{2}$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x y^{2} = 9$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x y^{2} = 9$

단계 3.4.2

$x y^{2} = 9$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x y^{2} = 9$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

단계 3.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

단계 3.4.2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{9}{x}$

단계 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

단계 3.4.4

$\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$\sqrt{\frac{9}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

단계 3.4.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

단계 3.4.4.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

단계 3.4.4.3

$\frac{3}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

단계 3.4.4.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.4.1

$\frac{3}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

단계 3.4.4.4.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

단계 3.4.4.4.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

단계 3.4.4.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.4.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

단계 3.4.4.4.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.4.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.4.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.4.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

단계 3.4.4.4.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 3.4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 3.4.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 3.4.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 가 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(0, \infty)$

단계 5.3

$\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 5.3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(0, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{9}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.4.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 의 정의역이 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 의 치역이 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ 은 $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

단계 6