기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$

단계 1

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{8 x}{3 x - 7}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{8 y}{3 y - 7}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $3 y - 7$ 을 곱합니다.

$(3 y - 7) (x) = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y x - 7 x = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3 y - 7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 y x - 7 x = \frac{8 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 y x - 7 x = 8 y$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $8 y$ 를 뺍니다.

$3 y x - 7 x - 8 y = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $7 x$ 를 더합니다.

$3 y x - 8 y = 7 x$

단계 3.4.3

$3 y x - 8 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$3 y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (3 x) - 8 y = 7 x$

단계 3.4.3.2

$- 8 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (3 x) + y \cdot - 8 = 7 x$

단계 3.4.3.3

$y (3 x) + y \cdot - 8$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (3 x - 8) = 7 x$

단계 3.4.4

$y (3 x - 8) = 7 x$ 의 각 항을 $3 x - 8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (3 x - 8) = 7 x$ 의 각 항을 $3 x - 8$ 로 나눕니다.

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$3 x - 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{7 x}{3 x - 8}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ 가 $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{8 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

단계 5.2.3

$7$ 와 $\frac{8 x}{3 x - 7}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$3 \frac{8 x}{3 x - 7}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$3$ 와 $\frac{8 x}{3 x - 7}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (8 x)}{3 x - 7} - 8}$

단계 5.2.4.1.2

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8}$

단계 5.2.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.3

$- 8$ 와 $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} + \frac{- 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.5.1

$24 x - 8 (3 x - 7)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.5.1.1

$24 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.1.2

$- 8 (3 x - 7)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.1.3

$8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.4

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.5.6

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 \cdot 7}{3 x - 7}}$

단계 5.2.4.6

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

단계 5.2.5

$7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

단계 5.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

단계 5.2.7

$56$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$56 x$ 에서 $56$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

단계 5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

단계 5.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

단계 5.2.8

$3 x - 7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{7 x}{3 x - 8})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{8 (\frac{7 x}{3 x - 8})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

단계 5.3.3

$8$ 와 $\frac{7 x}{3 x - 8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$3 \frac{7 x}{3 x - 8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$3$ 와 $\frac{7 x}{3 x - 8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 8} - 7}$

단계 5.3.4.1.2

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7}$

단계 5.3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 7$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7 \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.3

$- 7$ 와 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} + \frac{- 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

$21 x - 7 (3 x - 8)$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1.1

$21 x$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.1.2

$- 7 (3 x - 8)$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.1.3

$7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.4

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (0 + 8)}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.5.6

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 \cdot 8}{3 x - 8}}$

단계 5.3.4.6

$7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

단계 5.3.5

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

단계 5.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

단계 5.3.7

$56$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$56 x$ 에서 $56$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 (x)}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

단계 5.3.8

$3 x - 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

단계 5.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ 은 $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$