기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x + 4}$

단계 1

$f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x}{x + 4}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y}{y + 4}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y}{y + 4} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 4} = x$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y + 4, 1$

단계 3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y + 4, 1$

단계 3.2.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y + 4$

단계 3.3

$\frac{y}{y + 4} = x$ 의 각 항에 $y + 4$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{y}{y + 4} = x$ 의 각 항에 $y + 4$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = x (y + 4)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x y + x \cdot 4$

단계 3.3.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = x y + 4 x$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$y - x y = 4 x$

단계 3.4.2

$y - x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 - x y = 4 x$

단계 3.4.2.2

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 + y (- x) = 4 x$

단계 3.4.2.3

$y \cdot 1 + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 - x) = 4 x$

단계 3.4.3

$y (1 - x) = 4 x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y (1 - x) = 4 x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

단계 3.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4 x}{1 - x}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ 가 $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x}{x + 4})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (\frac{x}{x + 4})}{1 - (\frac{x}{x + 4})}$

단계 5.2.3

$4$ 와 $\frac{x}{x + 4}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{1 - \frac{x}{x + 4}}$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4}}$

단계 5.2.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4 - x}{x + 4}}$

단계 5.2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x - x + 4}{x + 4}}$

단계 5.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{x - x + 4}{x + 4}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{0 + 4}{x + 4}}$

단계 5.2.4.4.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{4}{x + 4}}$

단계 5.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

단계 5.2.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (x)}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

단계 5.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

단계 5.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

단계 5.2.7

$x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

단계 5.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{4 x}{1 - x})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{\frac{4 x}{1 - x}}{(\frac{4 x}{1 - x}) + 4}$

단계 5.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + 4}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{1 - x}}$

단계 5.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{1 - x}}$

단계 5.3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

$4 x + 4 (1 - x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x) + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.4.1.2

$4 (x) + 4 (1 - x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.4.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (0 + 1)}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.4.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{- x + 1}}$

단계 5.3.4.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4}{- x + 1}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{4}))$

단계 5.3.6

$\frac{- x + 1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

단계 5.3.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

단계 5.3.8

$\frac{x}{1 - x}$ 에 $- x + 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

단계 5.3.9

$- x + 1$ 및 $1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 5.3.9.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 5.3.9.3

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ 은 $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$