기초 미적분 예제

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

단계 1

데카르트 법칙을 적용하기 위하여 다항식을 간단히 하고 내림차순으로 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(x - 6)}^{2}$ 을 $(x - 6) (x - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 6) (x - 6)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.3.1.3

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.3.2

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

단계 1.4

${(x + 2)}^{2}$ 을 $(x + 2) (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

단계 1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

단계 1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

단계 1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

단계 1.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

단계 1.6.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

단계 1.6.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

단계 1.7

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ 를 전개합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.4

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.5.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.8

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.9

$4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.10

$4$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

단계 1.8.1.11

$36$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

단계 1.8.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

단계 1.8.2.2

$4 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

단계 1.8.2.3

$- 44 x^{2}$ 를 $36 x^{2}$ 에 더합니다.

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

단계 1.8.2.4

$- 48 x$ 를 $144 x$ 에 더합니다.

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

단계 2

양근의 개수를 구하기 위해 계수의 부호가 +에서 -로 또는 -에서 +로 바뀌는 횟수를 셉니다.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

단계 3

최고차항에서 최저차항까지 부호가 $2$ 번 바뀌므로, 최대 $2$ 개의 양근이 존재합니다(데카르트의 부호 법칙). 나머지 가능한 양근의 개수는 근의 쌍 $(2 - 2)$ 을 빼서 구합니다.

양근: $2$ 또는 $0$

단계 4

음근의 개수를 구하기 위해 $x$ 를 $- x$ 로 바꾸고 부호의 비교를 반복합니다.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.3

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.4

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.5

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.6

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.7

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

단계 5.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

단계 5.9

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

단계 5.10

$- 1$ 에 $96$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

단계 6

최고차항에서 최저차항까지 부호가 $2$ 번 바뀌므로, 최대 $2$ 개의 음근이 존재합니다(데카르트의 부호 법칙). 나머지 가능한 음근의 개수는 근의 쌍을 빼서 구합니다 (예를 들어 $2 - 2$ ).

음근: $2$ 또는 $0$

단계 7

가능한 양근의 개수는 $2$ 또는 $0$ 이며 가능한 음근의 개수는 $2$ 또는 $0$ 입니다.

양근: $2$ 또는 $0$

음근: $2$ 또는 $0$