기초 미적분 예제

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 2

$64 x - 32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$64 x$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 2.2

$- 32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 2.3

$32 (2 x) + 32 (- 1)$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 3

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$2 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 3.2

$- 13 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

단계 3.3

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

단계 3.4

$x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

단계 3.5

$x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

단계 4

인수분해합니다.

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단계 4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ 이고 합이 $b = - 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.1.1.1

$- 13 x$ 에서 $- 13$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

단계 4.1.1.2

$- 13$ 를 $- 1$ + $- 12$ 로 다시 씁니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

단계 4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

단계 4.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

단계 4.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

단계 4.1.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

단계 5

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$32 (2 x - 1)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

단계 5.2

$x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

단계 5.3

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

단계 6

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

단계 7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

단계 7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

단계 7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

단계 8

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

단계 10

인수분해합니다.

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단계 10.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 를 다시 씁니다.

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단계 10.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

단계 10.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

단계 10.1.1.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 10.1.1.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

단계 10.1.1.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

단계 10.1.1.3.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

단계 10.1.1.3.4

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 - 24 + 32$

단계 10.1.1.3.5

$- 8$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 32 + 32$

단계 10.1.1.3.6

$- 32$ 를 $32$ 에 더합니다.

$0$

단계 10.1.1.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

단계 10.1.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

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단계 10.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 10.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

단계 10.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 10.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 10.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

단계 10.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

단계 10.1.1.5.7

피제수 $- 8 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

단계 10.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

단계 10.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 8 x^{2} - 16 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

단계 10.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

단계 10.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 10.1.1.5.12

피제수 $16 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 10.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 10.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $16 x + 32$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

단계 10.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

단계 10.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 8 x + 16$

단계 10.1.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

단계 10.1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 10.1.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

단계 10.1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 10.1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

단계 10.1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

단계 10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$