기초 미적분 예제

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$

단계 1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (x (x + 10)) = 3$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 3$

단계 1.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 3$

단계 1.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$\ln (x^{2} + 10 x) = 3$

단계 2

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{3}$

단계 3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2} + 10 x) = 3$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{3} = x^{2} + 10 x$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$x^{2} + 10 x = e^{3}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 10 x = e^{3}$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $e^{3}$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 10 x - e^{3} = 0$

단계 4.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 10$ , $c = - e^{3}$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1.1

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.3

$100 + 4 e^{3}$ 을 $2^{2} (25 + e^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.5.1.3.1

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.3.2

$4 e^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.3.3

$4 (25) + 4 (e^{3})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

단계 4.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$

단계 4.5.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{3}}$

단계 4.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{3}}$

단계 5

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

소수 형태:

$x = 1.71457645 \dots$