기초 미적분 예제

$x^{6} - 8 x^{3} - 9 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{6}$ 을 ${(x^{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} - 9 = 0$

단계 1.2

$u = x^{3}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{3}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

단계 1.3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 8 u - 9$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 9$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 9, 1$

단계 1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

단계 1.4

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} - 9 = 0$

$x^{3} + 1 = 0$

단계 3

$x^{3} - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$x^{3} - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} - 9 = 0$

단계 3.2

$x^{3} - 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x^{3} = 9$

단계 3.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{9}$

단계 4

$x^{3} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x^{3} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} + 1 = 0$

단계 4.2

$x^{3} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{3} = - 1$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{3} + 1 = 0$

단계 4.2.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

단계 4.2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 4.2.3.3

간단히 합니다.

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단계 4.2.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

단계 4.2.3.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

단계 4.2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

단계 4.2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 4.2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 4.2.6

$x^{2} - x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.6.1

$x^{2} - x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - x + 1 = 0$

단계 4.2.6.2

$x^{2} - x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.6.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.2.6.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3

간단히 합니다.

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단계 4.2.6.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.6.2.3.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 4.2.6.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 4.2.7

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 5

$(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt[3]{9}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$