기초 미적분 예제

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} (x + 1)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

단계 1.2

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x^{2} (x + 1)$ 입니다.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.4

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.4.2

$4 x^{2} + 2 x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.1.2

$A (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$B (x^{2} (x + 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.4.2.5

$B (x (x + 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.6

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.9

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.9.1

공약수로 약분합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

단계 1.5.9.2

$(C) (x^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

단계 1.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

단계 1.6.2

$A$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

단계 1.6.3

$B x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

단계 1.6.4

$A x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$4 = B + C$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$2 = A + B$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 1 = A$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

$2 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

단계 3.3

$2 = - 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 1 + B = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + B = 2$

$A = - 1$

$4 = B + C$

단계 3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$B = 2 + 1$

$A = - 1$

$4 = B + C$

단계 3.3.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

단계 3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $3$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4 = B + C$ 의 $B$ 를 모두 $3$ 로 바꿉니다.

$4 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

단계 3.5

$4 = 3 + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$3 + C = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 + C = 4$

$B = 3$

$A = - 1$

단계 3.5.2

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$C = 4 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

단계 3.5.2.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

단계 3.6

연립방정식을 풉니다.

$C = 1 B = 3 A = - 1$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$C = 1, B = 3, A = - 1$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x + 1}$