기초 미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

단계 1

공식 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 을 사용하여 유한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{k}$ , $a_{k + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.2

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 및 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 에서 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

단계 2.2.2.2.4

${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

단계 2.2.3

$k$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

단계 2.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

단계 2.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

단계 2.2.5

$k$ 에서 $k$ 을 뺍니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

단계 2.2.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$r = \frac{2}{3}$

단계 3

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$k$ 의 $1$ 을 $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 에 대입합니다.

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

단계 3.2.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

단계 3.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

단계 3.2.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

단계 3.2.5

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

단계 3.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$a = 4 \cdot 1$

단계 3.2.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a = 4$

단계 4

비율, 첫 번째 항, 항의 수 값을 합 공식에 대입합니다.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

단계 5.1.2

조합합니다.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

단계 5.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{2}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

단계 5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.3.2

$3^{8}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.4

$2$ 를 $8$ 승 합니다.

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.5

$3$ 를 $7$ 승 합니다.

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.6

$- 1$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2187}{2187}$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.9

$3$ 와 $\frac{2187}{2187}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.1

$3$ 에 $2187$ 을 곱합니다.

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.4.11.2

$6561$ 에서 $256$ 을 뺍니다.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

단계 5.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

단계 5.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

단계 5.6

$\frac{6305}{2187}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (\frac{6305}{2187})$

단계 5.7

$4 (\frac{6305}{2187})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$4$ 와 $\frac{6305}{2187}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

단계 5.7.2

$4$ 에 $6305$ 을 곱합니다.

$\frac{25220}{2187}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{25220}{2187}$

소수 형태:

$11.53177869 \dots$

대분수 형식:

$11 \frac{1163}{2187}$