기초 미적분 예제

$2 x^{2} + 8 y^{2} = 16$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 $16$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{2 x^{2}}{16} + \frac{8 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

단계 1.2

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{8 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

단계 5.3.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{8 - 2^{1}}$

단계 5.3.4.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 2}$

단계 5.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{8 - 2}$

단계 5.3.5.2

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\sqrt{6}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(\sqrt{6}, 0)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- \sqrt{6}, 0)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{8 - 2^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.5.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{8 - 2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.1.7

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3.2

$\sqrt{6}$ 와 $\sqrt{2}$ 을 묶어 하나의 근호로 만듭니다.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{2}}}{2}$

단계 8.3.3

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2}$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2}$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2}$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{1}}}{2}$

단계 8.3.3.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

이심률: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10