기초 미적분 예제

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 3, 2)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

단계 5.3.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{144 + 25}$

단계 5.3.3

$144$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\sqrt{169}$

단계 5.3.4

$169$ 을 $13^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{13^{2}}$

단계 5.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$13$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(9, 2)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $h$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 15, 2)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(9, 2), (- 15, 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(10, 2)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 16, 2)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(10, 2), (- 16, 2)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

단계 8.3.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

단계 8.3.3

$144$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

단계 8.3.4

$169$ 을 $13^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

단계 8.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{13}{12}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{5^{2}}{13}$

단계 9.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{25}{13}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

단계 11.2

$\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

단계 11.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

단계 11.2.1.3

$\frac{5}{12}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

단계 11.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

단계 11.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

단계 11.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

단계 11.2.3

$2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

단계 11.2.5.2

$5$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

단계 12.2

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

단계 12.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

단계 12.2.1.3

$x$ 와 $\frac{5}{12}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

단계 12.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

$- \frac{5}{12}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

단계 12.2.1.4.2

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

단계 12.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

단계 12.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

단계 12.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.5.1

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

단계 12.2.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

단계 12.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

단계 12.2.3

$2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 12.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 12.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

단계 12.2.5.2

$- 5$ 를 $8$ 에 더합니다.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 3, 2)$

꼭짓점: $(9, 2), (- 15, 2)$

초점: $(10, 2), (- 16, 2)$

이심률: $\frac{13}{12}$

초점 변수: $\frac{25}{13}$

점근선: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

단계 15