기초 미적분 예제

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

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단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

단계 1.2

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x^{2} + 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.4

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.1.2

$A (x^{2} + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.4

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.4.2

$(B x + C) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

단계 1.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

단계 1.5.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

단계 1.5.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

단계 1.6

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

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단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

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단계 3.1

$C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

단계 3.2

$A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

단계 3.3

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

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단계 3.3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 3.4

$0 = 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.1

$1 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

단계 3.5

연립방정식을 풉니다.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

단계 3.6

모든 해를 나열합니다.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 5.2

$(- 1) \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

단계 5.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$