기초 미적분 예제

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{x - 1}{x - 2}$ 를 뺍니다.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

단계 2

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 2}{x + 3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x - 1}{x - 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 3) (x - 2)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

단계 2.3.2

$\frac{x - 1}{x - 2}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

단계 2.3.3

$(x - 2) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.5.2.1

인수가 항 $x \cdot - 2$ 과(와) $2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.2.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.2.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.3.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 1) (x + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.7.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.7.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.7.2

$- 3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.8

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.9

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.5.10

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.6

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.8

$- (2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.9

$- (2 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 5

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 6

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 7

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

단계 10

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 10.2.2

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.2.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 10.2.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 10.2.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.2.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 10.2.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 10.2.4

$(x + 3) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 2$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 12.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

단계 12.1.3

좌변 $1.\overline{3}$ 이 우변 $0.875$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.2

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.2.1

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

단계 12.2.3

좌변 $0$ 이 우변 $0.75$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.3

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

단계 12.3.3

좌변 $0.\overline{6}$ 이 우변 $0.5$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

단계 12.4.3

좌변 $0.\overline{857142}$ 이 우변 $1.5$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 참

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 참

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 또는 $x > 2$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

단계 15