기초 미적분 예제

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

단계 1

우변을

1

$1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은

1

$1$ 입니다.

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수

h

$h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고

k

$k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리

a

$a$ 를 나타냅니다.

a = 3

$a = 3$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

단계 4

쌍곡선의 중심은

(h, k)

$(h, k)$ 형태입니다.

h

$h$ 와

k

$k$ 값을 식에 대입합니다.

(0, 0)

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인

c

$c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

a

$a$ ,

b

$b$ 값을 공식에 대입합니다.

\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

3

$3$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\sqrt{9 + {(2)}^{2}}

$\sqrt{9 + {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2

2

$2$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\sqrt{9 + 4}

$\sqrt{9 + 4}$

단계 5.3.3

9

$9$ 를

4

$4$ 에 더합니다.

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은

h

$h$ 에

a

$a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

(h + a, k)

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인

h

$h$ ,

a

$a$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

(3, 0)

$(3, 0)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은

h

$h$ 에서

a

$a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

(h - a, k)

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인

h

$h$ ,

a

$a$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

(3, 0), (- 3, 0)

$(3, 0), (- 3, 0)$

(3, 0), (- 3, 0)

$(3, 0), (- 3, 0)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은

h

$h$ 에

c

$c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

(h + c, k)

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인

h

$h$ ,

c

$c$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

(\sqrt{13}, 0)

$(\sqrt{13}, 0)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은

h

$h$ 에서

c

$c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

(h - c, k)

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인

h

$h$ ,

c

$c$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

(- \sqrt{13}, 0)

$(- \sqrt{13}, 0)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)

$(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)

$(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

a

$a$ ,

b

$b$ 값을 공식에 대입합니다.

\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

3

$3$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}

$\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

2

$2$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}

$\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}$

단계 8.3.3

9

$9$ 를

4

$4$ 에 더합니다.

\frac{\sqrt{13}}{3}

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

\frac{\sqrt{13}}{3}

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

\frac{\sqrt{13}}{3}

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

b

$b$ ,

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}

$\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

2

$2$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\frac{4}{\sqrt{13}}

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

단계 9.3.2

\frac{4}{\sqrt{13}}

$\frac{4}{\sqrt{13}}$ 에

\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 을 곱합니다.

\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}

$\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

단계 9.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

\frac{4}{\sqrt{13}}

$\frac{4}{\sqrt{13}}$ 에

\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 을 곱합니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

단계 9.3.3.2

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ 를

1

$1$ 승 합니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

단계 9.3.3.3

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ 를

1

$1$ 승 합니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

단계 9.3.3.4

지수 법칙

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

단계 9.3.3.5

1

$1$ 를

1

$1$ 에 더합니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

단계 9.3.3.6

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ 을

13

$13$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.6.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ 을(를)

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 9.3.3.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 와

2

$2$ 을 묶습니다.

\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.3.6.4

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{1}}$

단계 9.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{2}{3} x + 0$

단계 11

$\frac{2}{3} x + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{2}{3} x$ 를

$0$ 에 더합니다.

$y = \frac{2}{3} x$

단계 11.2

$\frac{2}{3}$ 와

$x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3}$

단계 12

$- \frac{2}{3} x + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$- \frac{2}{3} x$ 를

$0$ 에 더합니다.

$y = - \frac{2}{3} x$

단계 12.2

$x$ 와

$\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3}$

단계 12.3

$x$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$y = - \frac{2 x}{3}$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{2 x}{3}, y = - \frac{2 x}{3}$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심:

$(0, 0)$

꼭짓점:

$(3, 0), (- 3, 0)$

초점:

$(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0)$

이심률:

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

초점 변수:

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

점근선:

$y = \frac{2 x}{3}$ ,

$y = - \frac{2 x}{3}$

단계 15