기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

단계 1

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

단계 3.2

양변에 $1 + 4^{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$1 + 4^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

단계 3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x (1 + 4^{y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

단계 3.3.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

단계 3.3.2.1.2.2

$x$ 와 $4^{y}$ 을 다시 정렬합니다.

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x + 4^{y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $x \cdot 4^{y}$ 를 뺍니다.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

단계 3.4.3

$4^{y} - x \cdot 4^{y}$ 에서 $4^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

단계 3.4.3.2

$- x \cdot 4^{y}$ 에서 $4^{y}$ 를 인수분해합니다.

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

단계 3.4.3.3

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ 에서 $4^{y}$ 를 인수분해합니다.

$4^{y} (1 - x) = x$

단계 3.4.4

$4^{y} (1 - x) = x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$4^{y} (1 - x) = x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

단계 3.4.4.2.1.2

$4^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

단계 3.4.5

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

단계 3.4.6

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (4^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

단계 3.4.7

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ 의 각 항을 $\ln (4)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ 의 각 항을 $\ln (4)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

단계 3.4.7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.2.1

$\ln (4)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

단계 3.4.7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ 가 $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

단계 5.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

단계 5.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

단계 5.2.3.3

인수분해된 형태로 $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

$4^{x}$ 에서 $4^{x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

단계 5.2.3.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

단계 5.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

단계 5.2.4.2

$1 + 4^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

단계 5.2.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

단계 5.2.5

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (4^{x})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

단계 5.2.6

$\ln (4)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

단계 5.2.6.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

단계 5.3.3.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

단계 5.3.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

단계 5.3.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

단계 5.3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

단계 5.3.4.5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ 은 $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$